मान लीजिए कि $\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$,$\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ और $\beta \hat{i} + (1 + \beta) \hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $OA$ और $OB$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $C$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\beta$ के सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ जहाँ $a_{i} > 0, i = 1, 2, 3$ एक सदिश है जो निर्देशांक अक्षों $OX$,$OY$ और $OZ$ के साथ समान कोण बनाता है। साथ ही,मान लीजिए कि $\vec{a}$ का सदिश $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ पर प्रक्षेप $7$ है। मान लीजिए $\vec{b}$ एक सदिश है जिसे $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया गया है। यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $x$-अक्ष समतलीय हैं,तो सदिश $\vec{b}$ का $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ पर प्रक्षेप किसके बराबर है?

यदि $a, b, c$ समान परिमाण वाले परस्पर लंबवत सदिश हैं,तो सदिशों $a$ और $a + b + c$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि तीन सदिशों $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ की लंबाई क्रमशः $5, 12, 13$ इकाई है,और प्रत्येक सदिश अन्य दो के योग के लंबवत है,तो $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}| = \dots$

यदि शून्येतर सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो समीकरण $r \times a = b$ का हल क्या होगा?

$p=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, q=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$. यदि सदिश $a$ और $b$ क्रमशः $q$ पर $p$ का और $p$ पर $q$ का लंबवत प्रक्षेप (orthogonal projection) हैं, तो $\frac{a \times b}{a \cdot b}=$